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こんにちは

積算部　平山です。

2021年の一橋大学入学試験でおもしろい問題が出題されたようです。

「1000以下の自然数のうち、素数が250個以下であること」を示せ

【解】

余事象の証明をして、命題を証明します。

命題の余事象「1000以下の自然数のうち、合成数が750個より多い」

2の倍数｛2,4,6,・・・,1000｝500個

3の倍数｛3,6,9,・・・,999｝333個

5の倍数｛5,10,15,・・・,1000｝200個

６の倍数｛6,12,18,・・・,996｝166個

10の倍数｛10,20,30,・・・,1000｝100個

15の倍数｛15,30,45,・・・,990｝66個

30の倍数｛30,60,90,・・・,990｝33個

＃1000以下の合成数の数＝500+333+200-166-100-66+33-3＝731

これと14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,133,140,147の20個で併せて751個

従って1000以下の自然数のうち、合成数は750個より多いので、

1000以下の自然数のうち、素数は250個以下である